Equazione parametrica – Confronto delle radici

Per l’equazione di 2° grado presenteremo una  tecnica matematica interessante. Questo riguarda le equazioni parametriche di 2° grado , nell’incognita x, e che può avere due radici, cioè due soluzioni x1 e x2 , sono presenti inoltre due parametri. Nell’equazione di 2° grado che possiamo indicare con f(x), sostituendo, se i parametri sono α  e β, abbiamo la f(α) e f(β) otteniamo così l’equazione senza incognite. Ricordiamo inoltre che nella ax2 + bx + c = 0 , il discriminante  è   =   b2 – 4ac.  E le soluzioni sono date da :

equazione - soluzioni 2° grado

Ricordiamo che operiamo nei numeri Reali.

Ora vediamo il confronto delle radici di un equazione di 2° grado con due numeri reali dati.

Sia   ax2 + bx + c = 0 un equazione di 2° grado  con a  ≠ 0 , e siano α  e β due numeri reali tali che α < β.

Ci proponiamo di determinare le radici x dell’equazione che risultano comprese tra i due numeri assegnati e che vengono chiamate soluzioni dell’equazione. Alla condizione α  < x  < β.  Indichiamo il primo membro dell’equazione con f(x) cioè poniamo f(x) = ax2 + bx + c  con  > 0 (quindi abbiamo due radici reali e distinte). Si hanno i seguenti casi:

I°caso

f(α) è discorde con a (1° coefficiente) e f (β) è discorde con a (1° coefficiente).

Sia α  che β cadono dentro l’intervallo delle due radici e si può scrivere quindi che x1 < α  <  β <  x2 , quindi non c’è nessuna soluzione ( nessun numero tra α  e β).

II°caso

f(α) è discorde con a (1° coefficiente) e f (β) è concorde con a.

α cade dentro l’intervallo delle due radici, essendo f(α) discorde con a ed f (β) concorde con a , dunque β cade fuori dell’intervallo delle due radici essendo f (β) concorde con a. Cioè x1 < α  <  x2 < β e siccome abbiamo β > α  , esso cade  esterno a destra e si ha una soluzione che la radice maggiore x2.

III° caso.

f(α) è concorde con a (1° coefficiente) e f (β) è discorde con a cioè:        a x (f(α) > 0.

Poiché f (β) è discorde con a, accade che β cade dentro l’intervallo delle due radici. Ed essendo f(α) concorde con a, α cade esternamente all’intervallo delle due radici visto che α  < β cade esterno a sinistra. α < x1 < β < x2  e così si ha una soluzione che è la radice minore.

IV° caso

f(α) è concorde con a e f (β) è concorde con a. Poiché  f(α) ed f (β) sono concordi con a, α  e β cadono entrambi esternamente all’intervallo delle radici. Si tratta ora di determinare se i parametri α  e β cadono entrambi a sinistra, tutte e due a destra o uno esterno a sinistra e uno a destra. Per verificare calcoliamo la semisomma delle radici cioè:

equazione semisomma delle radici

E poiché la semisomma è sempre compresa tra i due numeri sommati studieremo le condizioni:  α  < ∑    e    ∑ < β , si hanno i seguenti sottocasi.

I° sottocaso

Le due condizioni α  < ∑    e    ∑ < β sono soddisfatte. Allora α cadrà esterno a sinistra e β esterno a destra, cioè α< x1 < ∑ < x2 < β l’equazione dunque ha due soluzioni.

II° sottocaso

α  < ∑ (verificata)   e    ∑ < β (non vera). Se non è vera allora sarà β < ∑ quindi β deve cadere a sinistra dell’intervallo e a maggior ragione anche α visto che è α < β e perciò  α < β < x1 < < x2 , allora non si hanno soluzioni.

III° sottocaso

α  < ∑ (non vera )   e    ∑ < β (verificata). Poiché α  <non è vera risulta ∑  < α , quindi α cadrà esternamente a destra dell’intervallo delle radici e a maggior ragione β. Si ha infatti x1 < < x2 < α < β. Anche in questo caso non si hanno soluzioni.