Ricordiamo che operiamo nei numeri Reali.
Ora vediamo il confronto delle radici di un equazione di 2° grado con due numeri reali dati.
Sia ax2 + bx + c = 0 un equazione di 2° grado con a ≠ 0 , e siano α e β due numeri reali tali che α < β.
Ci proponiamo di determinare le radici x dell’equazione che risultano comprese tra i due numeri assegnati e che vengono chiamate soluzioni dell’equazione. Alla condizione α < x < β. Indichiamo il primo membro dell’equazione con f(x) cioè poniamo f(x) = ax2 + bx + c con ∆ > 0 (quindi abbiamo due radici reali e distinte). Si hanno i seguenti casi:
I°caso
f(α) è discorde con a (1° coefficiente) e f (β) è discorde con a (1° coefficiente).
Sia α che β cadono dentro l’intervallo delle due radici e si può scrivere quindi che x1 < α < β < x2 , quindi non c’è nessuna soluzione ( nessun numero tra α e β).
II°caso
f(α) è discorde con a (1° coefficiente) e f (β) è concorde con a.
α cade dentro l’intervallo delle due radici, essendo f(α) discorde con a ed f (β) concorde con a , dunque β cade fuori dell’intervallo delle due radici essendo f (β) concorde con a. Cioè x1 < α < x2 < β e siccome abbiamo β > α , esso cade esterno a destra e si ha una soluzione che la radice maggiore x2.
III° caso.
f(α) è concorde con a (1° coefficiente) e f (β) è discorde con a cioè: a x (f(α) > 0.
Poiché f (β) è discorde con a, accade che β cade dentro l’intervallo delle due radici. Ed essendo f(α) concorde con a, α cade esternamente all’intervallo delle due radici visto che α < β cade esterno a sinistra. α < x1 < β < x2 e così si ha una soluzione che è la radice minore.
IV° caso
f(α) è concorde con a e f (β) è concorde con a. Poiché f(α) ed f (β) sono concordi con a, α e β cadono entrambi esternamente all’intervallo delle radici. Si tratta ora di determinare se i parametri α e β cadono entrambi a sinistra, tutte e due a destra o uno esterno a sinistra e uno a destra. Per verificare calcoliamo la semisomma delle radici cioè:
E poiché la semisomma è sempre compresa tra i due numeri sommati studieremo le condizioni: α < ∑ e ∑ < β , si hanno i seguenti sottocasi.
I° sottocaso
Le due condizioni α < ∑ e ∑ < β sono soddisfatte. Allora α cadrà esterno a sinistra e β esterno a destra, cioè α< x1 < ∑ < x2 < β l’equazione dunque ha due soluzioni.
II° sottocaso
α < ∑ (verificata) e ∑ < β (non vera). Se non è vera allora sarà β < ∑ quindi β deve cadere a sinistra dell’intervallo e a maggior ragione anche α visto che è α < β e perciò α < β < x1 < ∑ < x2 , allora non si hanno soluzioni.
III° sottocaso
α < ∑ (non vera ) e ∑ < β (verificata). Poiché α < ∑ non è vera risulta ∑ < α , quindi α cadrà esternamente a destra dell’intervallo delle radici e a maggior ragione β. Si ha infatti x1 < ∑ < x2 < α < β. Anche in questo caso non si hanno soluzioni.