Insieme
Il concetto di insieme costituisce l’elemento fondante di gran parte delle esposizioni della matematica moderna. I principali testi introduttivi e buona parte delle aree della matematica iniziano con nozioni di insiemistica. Non possono tuttavia essere completamente ignorate le impostazioni che partono da altre nozioni, come quella di categoria e quelle di stringa e di algoritmo agente su stringhe. Intuitivamente con il termine si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell’insieme. Ciò che caratterizza il concetto e lo differenzia dai concetti analoghi sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Proprietà dell’insieme
- Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli quelli sfocati).
- Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade ai componenti di un vettore o di un insieme totalmente ordinato).
- Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.
In molte esposizioni il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo.
- “primitivo” perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari.
- “Intuitivo” perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito. Concetto a sua volta introdotto con metafore come quella dell’elenco di identificatori di oggetti o di scatola contenente oggetti materiali (tendenzialmente omogenei). Questa impostazione fa talora riferimento al convincimento che l’idea di insieme nasca spontaneamente nella nostra mente ed ivi ne sia sepolta. (Reminiscenza platonica e vedi anche forme a priori di KANT)
Gli insiemi più usati in matematica sono: R = Numeri Reali, Q = Numeri Razionali, Z = Numeri Interi Relativi, N = Numeri Naturali
Dal diagramma di Eulero-Venn ovvio è che : N è un sottoinsieme proprio di Z, Z è un sottoinsieme proprio di Q, Q è un sottoinsieme proprio di R.
N
I numeri Naturali sono tutti i numeri interi positivi, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . ,+∞}. Nell’insieme dei numeri Naturali si possono eseguire le operazioni di : addizione, moltiplicazione e potenza. I numeri Interi Relativi sono tutti i numeri interi positivi e negativi, Z={-∞, . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . +∞}. Invece nei numeri Interi Relativi, oltre all’addizione, alla moltiplicazione e alla potenza, si può eseguire anche la sottrazione.
Q
I numeri Razionali Q, sono tutti i numeri, positivi e negativi, che si possono mettere sotto forma di frazione, e cioè tutti i numeri interi, tutti i numeri decimali limitati, tutti i numeri decimali illimitati periodici e tutte le frazioni. Nell’insieme dei numeri razionali, oltre all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla potenza, si può eseguire anche la divisione.
R
I numeri Irrazionali sono tutti i numeri che non si possono mettere sotto forma di frazione, e cioè i numeri decimali illimitati non periodici. I numeri Reali R, sono tutti i numeri razionali e irrazionali . Nell’insieme dei numeri reali, oltre alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza, si può eseguire anche l’estrazione di radice n-esima di qualsiasi numero positivo.
Abbiamo visto quelli che sono alcuni dei simboli matematici. La matematica, come ci spiega Bertrand Russel, parte dalla logica formale o simbolica, anche se a mio avviso è più correto il termine logica formale.