Numeri binari e algebra di Boole
Algebra di Boole
L’ algebra di Boole e i numeri binari lavorano insieme, sono dei sistemi complementari, i loro legami sono molteplici e fondamentali. L’ algebra di boole serve a mettere in relazione delle affermazioni che possono essere vere o false. Quindi si ottengono delle strutture decisionali basate solo su due valori: True o False. Valori facilmente riproducibili da “0” e “1” che rappresentano usualmente i valori di tensione di circuiti a due stati di funzionamento. Le relazioni dell’ algebra di Boole, cioè le relazioni AND, OR, NOT, possono essere costruite con componenti elettroniche, come i transistor, che vanno da semplici apparecchi a macchine più complesse come gli elaboratori. Ora nelle strutture più semplici abbiamo 2 entrate e 1 uscita. Possiamo vedere un’ideazione nelle tavole logiche in figura sotto delle relazioni fondamentali dell’algebra di Boole OR AND e NOT con due entrate che possono avere le combinazioni secondo i numeri binari 00, 01, 10 11. X Y e T sono le funzioni.
X e Y Entrate e T uscita. Le linee rappresentano INPUT e OUTPUT 1 corrisponde a positivo, 0 a negativo. In modo che si possano utilizzare anche per affermazioni logiche. Per gli interruttori vale la stessa terminilogia.
Relazioni
In realtà le relazioni sono più numerose di quelle dette e prevedono delle regole molto precise nelle combinazioni (Esistono relazioni NAND, XOR, ecc). Il sistema binario rappresenta un modo semplice per trasformare informazioni di qualsiasi tipo in impulsi elettronici sia per il funzionamento digitale che analogico. In tal caso 0 indica l’assenza di tensione o tensione bassa, mentre 1 rappresenta la presenza di tensione o tensione più alta.
La relazione AND
Questa relazione necessita di due input e restituisce una risposta positiva se entrambi gli input sono positivi. Negativa se un input o entrambi sono negativi, come si vede dalla precedente immagine. Per esempio possiamo avere un circuito elettrico con un’alimentazione due interruttori e una lampada che si accende solo se i due interruttori sono chiusi entrambi, come in figura.
Abbiamo quindi due affermazioni che riguardano gli interruttori INT1 e INT2 che permettono l’accensione soltanto se entrambi sono chiusi. Affermazione positiva =1 , affermazione negativa =0. Così anche all’uscita se positiva viene indicata con 1 altrimenti con 0 a seconda delle possibili combinazioni delle relazioni, come si è visto nella precedente tabella delle verità. Nella teoria degli insiemi corrisponde all’intersezione.
La relazione OR
Nel caso in cui le due affermazioni siano legate dalla relazione “OR”, O in italiano, in questo caso basta che una delle affermazioni in entrata, sia positiva, affinchè l’uscita sia positiva. Le possibili combinazioni delle relazioni, come si è visto sono sempre quelle della precedente tabella.
La relazione NOT
La relezione NOT, ha bisogno di un solo input e ha il compito di invertire il valore dell’affermazione iniziale, cioè trasforma una affermazione positiva in negativa e viceversa. Per esempio questo si verifica nell’affermazione: “vengo sicuramente se non vieni tu”.
SISTEMA BINARIO E DECIMALE
Il sistema binario si basa su due soli simboli (0-1) e non su 10 come quello decimale (0-9). Dunque, i singoli valori delle posizioni nei numeri stessi variano. Ad esempio un numero con 4 cifre non indica più un valore da 1000 a 9999 come nel sistema decimale, ma un valore da 8 a 15. Ora vedremo più da vicino questo fatto, confrontando i due sistemi numerici. Il numero 1111 potrebbe essere sia un numero binario che un numero decimale. La notevole differenza è che nel sistema decimale ogni posizione del numero può rappresentare 10 simboli differenti (0-9) , quindi con una posizione si arriva al valore 9, con due posizioni a 99(cento disposizioni diverse), ecc. Nel sistema binario esistono solo 0 e 1, con una posizione si possono solo rappresentare 2 valori 0 e 1 appunto. con due posizioni arriviamo a 4 valori (00 01 10 11). Ora riferiamoci al valore del numero specificando le forme diverse di rappresentazione (decimale o binario). In entrambi i casi i valori assunti dai numeri nelle varie posizioni sono rappresentati da potenze.
Ricordando che qualsiasi numero reale, elevato a 0 fa 1, se sommiamo si ottiene:
1 X 103 + 1 X 102 + 1 X 101 + 1 X 100 = 1111 1 X 23 + 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 = 14
DIFFERENZA NEL RISULTATO
Nel sistema decimale abbiamo 10 simboli diversi che assumono valori diversi mentre nel sistema binario che usa solo due simboli si deve usare una sequenza di 0 e 1 più lunga. ad esempio per il 9 (1001) visto che non si dispone di un simbolo unico per questo valore. Nella posizione rappresentata dalla potenza 100 si possono rappresentare i valori 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mentre nella posizione 20 solo 0 e 1 . Nella quantità di simboli a disposizione sta la differenza tra i due sistemi. Ad esempio:
Sistema decimale (base 10) 74910 = 7 X 102 + 4 X 101 + 9 X 100
Sistema binario (base 2) 1 X 29 + 0 X 28 + 1 X 27 + 1 X 26 + 1 X 25 + 0 X 24 + 1 x 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 1 X 20 = 512 + 0 + 128 + 64 + 32 + 0+ 8 + 4 + 0 + 1 = 0010111011012
la base riportato come pedice, corrisponde al numero di simboli utilizzati. Come si vede nel sistema binario le potenze di due vengono moltiplicate solo per 1 o 0, mentre nel sistema decimale la potenza di 10 è moltiplicata per il numero corrispondente, visto che vi sono più simboli. Come abbiamo visto esistono altre basi di numerazione ad esempio in base 20 , nel sistema di numerazione maya.