Reti logiche e rappresentazione II

La funzione booleana NAND

La funzione booleana NAND (NOT – AND) può essere realizzata collegando l’uscita di un blocco logico AND con l’ingresso di un NOT, come si è visto dall’articolo precedente.

funzione booleana nand

Si può realizzare una stessa funzione booleana collegando i blocchi logici fondamentali in diversi modi.

Richiami

Dalle basi della matematica, dall’insiemistica, dalla Teoria dei numeri e  relazioni e dai Postulati di Huntington, si possono dedurre tutta una serie di teoremi che riguardano l’algebra booleana, infatti se consideriamo che l’insieme S è costituito dai circuiti elementari formati da un interruttore e da tutti i circuiti ottenibili da questi applicando un numero finito di volte le operazioni di somma logica, prodotto logico e complementazione, poichè il complemento di X è l’elemento X , tale che

X + X =1   (Vedere anche il concetto di complemento in insiemistica.)

Facciamo un esempio con delle tabelle di verità :

:

X

X (complemento)

Y

Y  (complemento)

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

In tale insieme S si definisce come elemento “zero” un circuito sempre aperto e come elemento “uno” un circuito sempre chiuso. Due interruttori dell’insieme S siano X e Y , questi sono equivalenti quando hanno tavole di verità identiche.

I teoremi di DeMorgan.

Ora giusto come esempio, esporremo due teoremi dell’algebra booleana che vengono detti Teoremi di DeMorgan.

Per qualsiasi coppia di elementi X e Y dell’insieme S, si hanno le relazioni:

  1. (X+Y) = X ˙ Y cioè, il complemento della somma di X e Y è uguale al prodotto dei complementi di X e Y.
  2. (X ˙ Y) = X + Y che si dice il complemento del prodotto di X e Y è uguale alla somma dei complementi di X e Y.

Altro modo di rappresentare la NAND.

Ora applicando questi Teoremi di De Morgan all’espressione della funzione NAND si ottiene che:

(X ˙ Y) = X + Y quindi effettuando la complementazione delle variabili X e Y e collegandole agli ingressi di un circuito OR si realizza sempre la funzione logica NAND in modo diverso dal precedente, questo secondo metodo è più dispendioso del primo visto che impiega tre blocchi

funzione booleana nand

logici fondamentali , esattamente 2 NOT e un OR , mentre il primo metodo ne impiegava solo 2 e come abbiamo visto essi sono equivalenti , ciò si evince dai teoremi di De Morgan.

Complemento a due

Sarebbe utile rivedere il concetto di complemento a due, che è un altro tipo di complementazione,   poiché è un modo di rappresentare i numeri binari negativi. Per i numeri binari positivi si usa la  rappresentazione binaria che viene detta “pesata” per poter utilizzare le operazioni con le solite regole, se esprimiamo ora tutto questo concetto in termini matematici, tutto sarà più sintetico, in seguito vedremo degli esempi.
Sia N un numero intero non nullo, in base b che ha K cifre:

a k-1  ak-2 … a1 a0

chiameremo «complemento alla base» di N il numero bk-N che si può calcolare facendo il complemento a b-1 delle singole cifre date, a eccezione dell’ultima cifra significativa per la quale si farà il complemento a b, ora consideriamo ora un numero in rappresentazione decimale a 6 cifre , il complemento del numero 008537 sarà il numero 991463 cioè il numero (bk-N).

E ancora, in rappresentazione binaria con 6 cifre, il complemento di 101001 sarà 010111. A questo punto la sottrazione di due numeri N ed M entrambi di K cifre con    N ≥ M sarà equivalente all’addizione di N con il complemento alla base di M però nella somma risultante si deve trascurare il riporto che si ha nella posizione k+1.