Sistemi di numerazione II

Sistemi posizionali

Tra i  sistemi di numerazione c’è il sistema posizionale, che fa riferimento alla posizione della cifra. In un sistema posizionale si può dire che la scrittura:
ak  a(k-1) ….. a2  a1  a0 . a-1  a-2 ….. a-(h-1)  a-h
con base b (b ≥2) equivale all’espressione:

espressione sistemaIl punto che compare tra a0 e a-1 si chiama “punto radice” e nel caso in cui  b= 10 nel sistema decimale viene detto punto decimale. espressione algebricaI simboli ai che soddisfano alla condizione ai < b sono chiamati “cifre” che sono “più significative” di altre. A seconda che il loro indice abbia un valore superiore . Lo spostamento di una cifra a sinistra o a destra della sua posizione ha l’effetto di cambiare il valore da essa rappresentato. In particolare lo spostamento verso sinistra equivale a moltiplicare il suo valore per quello della base del sistema. Mentre lo spostamento di una posizione verso destra equivale a dividerlo per il valore della base. In un sistema di numerazione posizionale in base b si utilizzano b cifre diverse (0, 1, 2, …. b-1 ).

Conta nei sistemi a base 10

Nel sistema decimale in base 10 la conta avviene così:

  1.   tutti i simboli sono considerati sequenzialmente da uno a nove;
  2.  se la quantità da contare è superiore a 9 i simboli devono essere considerati nuovamente a partire dallo 0 con il riporto, cioè deve essere sommato 1 alla cifra immediatamente alla sinistra e cosi via se consideriamo la cifra delle decine (cifra delle decine, centinaia, ecc);
  3. il procedimento va ripetuto senza nessuna limitazione sul numero delle cifre interessate;

La cifra che precede il punto decimale o virgola a sinistra di un posto, rappresenta le unità poi ci sono decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, ecc. Un’analoga catalogazione è valida anche per le cifre alla destra del punto decimale: decimi, centesimi, millesimi ecc. Dunque il num 832,76  ha:

  • 8 centinaia
  • 3 decine
  • 2 unità
  • 7 decimi
  • 6 centesimi

Il valore nel sistema decimale è: sistema

Utilizzando alcune semplici regole si possono effettuare le operazioni fondamentali : addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione su numeri decimali, esistono anche opportune tabelle. In matematica le operazioni sono Leggi di composizione interna.

La matematica sembra astratta, ma si ricorda che senza i processi di astrazione non potremmo stabilire neppure un sistema di comunicazione, un linguaggio comune. Un metodo è tanto più pratico, quanto più è astratto. Oggi utilizziamo un sistema di numerazione posizionale in base 10 che sembra abbastanza “naturale”.

Mentre in un sistema di numerazione che non sia posizionale un simbolo che rappresenta un numero ha lo stesso valore qualunque sia la posizione che esso occupa. Ad esempio nel sistema di numerazione romana il numero cinque V ha lo stesso valore in V VI  XVII VIII ecc. mentre in un sistema posizionale il V equivarrebbe nei numeri precedenti rispettivamente 5, 50 500, 5000 a secondo del posto in cui si trova.

NUMERAZIONE MAYA

La civiltà maya fu una delle poche culture del mondo antico a sviluppare un sistema di numerazione posizionale. Essi utilizzavano tre simboli, una conchiglia lo zero, per l’unità un punto, e una riga per cinque unità.

numerazione maia
Numerazione maia in base 20

I numeri dopo il 19 sono stati scritti verticalmente in potenze di venti. I Maya usavano sistemi di numerazione a potenze di venti, proprio come il sistema numerico indù-arabo usa potenze di decine.

Cioè considerando la notazione precedente

1 X 200 = 1

2 X 200 = 2

….

(1 x 5 + 1) x 200 = 6

….

(1 x 5 + 4) x 200 = 9

(2 x 5 + 0) x 200 = 10

(2 x 5 + 1) x 200 = 11

….

(3 x 5 + 0) x 200 = 15

(3 x 5 + 1) x 200 = 16

….

1 x 201 + 0 x 200 = 20

E continuando, ad esempio, trentatré verrebbe scritto come un punto, sopra tre punti in cima a due barre. Il primo punto rappresenta “uno per venti” o “1×20”, che viene aggiunto a tre punti e due barre, o tredici.

Pertanto,

1 x 201 + (2 x 5 + 3) x 200 = 33       (1×20) + 13 = 33.

33 maya
33 maya

Così il 100 sarà una conchiglia con sopra una linea

100 maya
100 maya

Cioè (1 x 5 + 0) x 201 + 0 x 200 = 100 e così via,