In forma più generale l’equazione ax. Quindi:
1.000= 103
10.000 = 104
1.000.000 = 106
Ora moltiplichiamo questi tre numeri tra loro:
1.000 X 10.000 X 1.000.000 = 10.000.000.000.000 10.000.000.000.000 = 1013
Si poteva effettuare la moltiplicazione scrivendo 10(3+4+6) = 1013. In questo modo risulterà più facile l’operazione. Questo è chiaro, infatti, quando i numeri diventano molto grandi. Se dovessimo moltiplicare 1027 X 1063 = 1090 è sufficiente fare una somma piuttosto che scrivere tutti quegli zero. Con l’uguaglianza 1.000= 103 ci si potrebbe chiedere a quale numero dobbiamo elevare 10 affinché ci dia 1.000? questo si scriverà nel modo log (1.000) =3. E così:
1) log 100 = 2
2) log 100.000 = 5
3) log 1.000.000 = 6
Naturalmente si intende, in tal caso, logaritmo in base 10. Lo schema sottintende che è molto più naturale fare somme che prodotti. Quindi si può avere: log (100 X 1000) = log 100 + log 1000 = 2 + 3 = 5; e quindi effettuare il procedimento inverso per ottenere che 105 = 100.000.
Tabelle ideazione
Tutte queste operazioni si possono effettuare con tabelle come quella semplificata sotto a titolo di esempio:
Nella prima riga ogni nuova cella è uguale alla precedente moltiplicata per 10, progressione geometrica in ragione 10. Nella seconda riga le celle si ottengono sommando una unità alla cella precedente. Quindi nella riga superiore si parla di prodotti in quella inferiore di somme questo è il criterio che si evidenzia. Ora con questo criterio possiamo costruire una tabella ponendo una progressione geometrica che più ci piace.
E così per effettuare il prodotto 4 X 16 nella riga inferiore si somma 2 + 4. Allo stesso modo si possono fare divisioni, però il risultato equivale alla sottrazione dei numeri corrispondenti nella riga inferiore. Ad esempio, 128 diviso 4 equivale e effettuare la sottrazione 7 – 2 = 5.
Definizione logaritmi.
In questa relazione che esiste tra i numeri della riga superiore e inferiore si trova la chiave del concetto di logaritmo. Quando diciamo che al 6 corrisponde il 64 non facciamo che esprimere l’uguaglianza
26 = 64
Si ricordi che 2 elevato alla 6 significa 2 moltiplicato per sé stesso 6 volte. Quindi si può dire che “3 è il numero al quale bisogna elevare 2 per ottenere 8” e “6 è il numero al quale bisogna elevare 2 affinché dia 64” che si può esprimere in forma matematica:
log2 8 = 3 (logaritmo in base 2 di 8 è uguale a 3)
log2 64 = 6 (logaritmo in base 2 di 64 è uguale a 6)
Ora se consideriamo la prima tabella 105 = 100.000 ovvero 5 è il numero al quale bisogna elevare 10 (base) affinché ci dia 100.000. Da cui la definizione generale di logaritmo.
Il logaritmo in base a di un numero b è il numero c al quale bisogna elevare la base a affinché ci dia b (il numero di cui si cerca il log).
loga b = c
Napier, come visto nell’articolo precedente, era interessato a sveltire i calcoli nella trigonometria sferica e la sua idea di logaritmo era inizialmente applicata alle funzioni trigonometriche. Il termine logaritmo fu utilizzato dallo stesso Napier e significa “numero della ragione”. Egli lo applicò alla cinematica: a segmenti di retta che erano percorsi a diverse velocità e la parola “ragione” si riferisce alla relazione che esiste fra i diversi segmenti di rette utilizzati da Napier, così come abbiamo aritmeticamente utilizzato una relazione tra i numeri della prima e della seconda riga delle tabelle considerate sopra. Bisogna inoltre dire che il log 1 = 0, che implicava che 100 = 1. Da qui arriveremo ai logaritmi di Briggs (che ha suggerito la base 10) e alle tavole logaritmiche.
Oggi, in termini analitici considerate le funzioni, possiamo dire:
Definizione e prime proprietà
Un equazione esponenziali è del tipo:
ax = b
dove b > 0 perché essendo il risultato di un esponenziale non può essere altrimenti, a > 0 poiché è il campo di esistenza della funzione esponenziale e inoltre consideriamo anche il caso a ≠ 1, perchè in quel caso avrebbe soluzione solo se anche b fosse uguale a 1. Poste queste condizioni definiamo la soluzione dell’equazione come:
x = loga b
Grafico logaritmi
Con le considerazioni precedenti otteniamo quindi che la funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale: quindi per ottenere il grafico di y = loga x si deve fare il simmetrico di y = ax rispetto alla retta y = x.
Quindi dalle definizioni e dal fatto che la nostra funzione è ottenuta come simmetria assiale rispetto alla retta y = x:
aloga b = b
loga 1 = 0
_loga a = 1
Inoltre la funzione y = loga x, in quanto funzione inversa della funzione esponenziale, conserva alcune proprietà che vedremo ci risulteranno molto utili:
la funzione è iniettiva
essa è crescente se a > 1
è descrescente se 0 < a < 1
Proprietà Fondamentali dei logaritmi
Vedremo adesso le principali proprietà dei logaritmi, che si andranno ad utilizzare per la risoluzione di espressioni, equazioni e disequazioni e che spiegano alcuni passaggi precedenti.
1) loga b + loga c = loga(b x c) a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
2) loga b – loga c = loga(b/c) a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
3) loga(bn) = n loga b a > 0, a ≠ 1, b > 0
4) loga b = loga c x logc b a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
La terza proprietà molto spesso è causa di errori come questo:
loga(x2) = 2 _ loga x
L’errore si evince, infatti basta osservare che il dominio delle due funzioni non coincide: la prima è definita per x2 > 0 → x ≠ 0; mentre la seconda è definita per x > 0. Infatti, è vera la:
loga(x2) = 2 loga(|x|)
La quarta proprietà è nota come Formula di cambiamento di base e più comunemente si presenta nella seguente forma:
