Notazione binaria
La notazione binaria e il sistema numerico è un sistema posizionale in base 2. Esso utilizza solo due simboli grafici , di solito indicati con 0 e 1. Solo due cifre, invece delle dieci cifre utilizzate dal sistema numerico decimale (0 -9). In informatica il sistema binario è utilizzato per la rappresentazione interna dell’informazione dalla quasi totalità degli elaboratori elettronici. In quanto le caratteristiche fisiche dei circuiti digitali rendono particolarmente conveniente la gestione di due soli valori, rappresentati fisicamente da due diversi livelli di tensione elettrica. Tali valori assumono convenzionalmente il significato numerico di 0 e 1 o quelli di vero e falso della logica booleana. Come abbiamo visto precedentemente.
Aritmetica binaria
Leibnitz espose nel 1703 All’Academie Royale des Sciences le regole dell’aritmetica binaria. Con l’aumentare dell’interesse e per la tecnologia e le costruzioni meccaniche in grado di realizzare automaticamente le operazioni aritmetiche, il sistema binario si diffuse rapidamente. Sin dalla realizzazione dei primi calcolatori elettronici si dimostrò più adatto alle trattazioni automatiche. La conta avviene in un modo analogo a quello descritto per il sistema decimale. Dopo aver considerato i simboli fondamentali, si passa a considerarli nuovamente effettuando però il riporto, e sommando 1 sulla cifra immediatamente a sinistra. Il simbolo 2 sarà espresso in binario dunque da 1 0 (da leggere uno zero) il simbolo decimale 3 da 1 1 ecc. Un numero N dove k è il numero di cifre intere e h dopo la virgola, può essere espresso in binario da:
Dove ai =0 o ai =1, qualunque sia i, il significato della notazione precedente espresso in forma decimale è la formula per convertire un numero da binario a decimale (dove con ak si indica la cifra di posizione k all’interno del numero, contate da destra verso sinistra iniziando da 0) è: 
Es:
Cifre
Le cifre di un numero binario sono chiamate bit, abbreviazione di “binary digit” e i valori posizionali sono dati dalle potenze di due. Il minimo numero dei simboli grafici (1 0) da cui è costituito il sistema binario è un importante vantaggio per la possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra essi e i due possibili stati di funzionamento di un circuito elettronico o di alcuni supporti fisici (magnetizzazione in un senso o nel senso opposto, passaggio o non passaggio di corrente, presenza assenza di un foro).
Un inconveniente di tale sistema di numerazione è il maggior numero di cifre binarie necessarie per rappresentare un numero rispetto alle cifre necessarie per rappresentare lo stesso numero in un altro sistema di numerazione posizionale. Il numero in base 10, 65432 espresso in cifre binarie è: 1111111110011000.
Il numero di bit necessari per rappresentare un numero intero N se
è dato dal numero p . Ora se:
Il massimo numero rappresentabile con due cifre decimali è esprimibile in binario con 7 bit, il massimo numero esprimibile con 3 cifre decimali in binario è esprimibile con 10 bit.
I programmatori per semplificare ed evitare alla confusione creata da lunghe serie di bit usano altri sistemi di numerazione ad esempio ottale o esadecimale, limitando l’uso della serie di bit alla logica interna dei calcolatori. Sono utili spesso, per stabilire il rapporto tra quantità di cifre decimali e di cifre binarie necessarie per rappresentare lo stesso numero, tabelle come le prime 100 potenze di 2.
Addizione binaria
È chiaro che bisogna avere dimestichezza con potenze e radici prima di intraprendere uno studio dei numeri binari , perché purtroppo la matematica è tutta collegata. Tra i numeri binari le addizioni tra due cifre ci restituiscono i seguenti risultati:
0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 0 con il riporto di 1 quindi si somma 1 alla cifra immediatamente a sinistra nel numero.
Vediamo l’esecuzione di una addizione binaria:
Ora una tale operazione si può verificare mediante i corrispondenti valori decimali.
Vediamo le possibili combinazioni che possono presentarsi nell’addizione di due cifre binarie considerando l’eventuale riporto:
Primo addendo 0 0 0 0 1 1 1 1
Secondo addendo 0 0 1 1 0 0 1 1
Riporto precedente 0 1 0 1 0 1 0 1
Valore della somma 0 1 1 0 1 0 0 1
Riporto generato 0 0 0 1 0 1 1 1
Sottrazione binaria
La sottrazione tra numeri binari si può fare in modo diretto, in modo simile alla sottrazione tra numeri decimali oppure attraverso il ” metodo del complemento”. Quando una cifra del minuendo è minore della corrispondente cifra del sottraendo sarà necessario prendere in prestito una unità dalla cifra precedente che equivale nel sistema binario, a sommare 2 alla cifra del minuendo considerata. Le differenze tra due cifre binarie sono:
0-0 →0
1-0 →1
1-1 →0
0-1 →1 con “prestito” di 1 dalla cifra precedente
L’esecuzione di una sottrazione binaria si ha nel seguente esempio:
che al solito si verifica mediante la conversione in decimale, per essere di più immediata comprensione.
Moltiplicazione Binaria
Dall’addizione ovviamente segue anche la moltiplicazione tra numeri binari, e si tenga presente che:
0 · 0 = 0
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 1 = 1
quindi si esegue la moltiplicazione tra due fattori e si ricordi la regola addittiva nel sommare i prodotti parziali. 1101 x 11 = 100111
Divisione Binaria
Per la divisione si tratta in sostanza di fare delle sottrazioni. Il procedimento coincide con quello
applicato tra numeri decimali, con la semplificazione che il gruppo di cifre del dividendo esaminato può contenere il divisore 1 o 0 volte.
Divisione: 10010: 110 = 11