Simboli e insiemi

SIMBOLI E INSIEMI

È necessario usare dei simboli nella trattazione matematica, sia per velocizzare il discorso, sia per semplificare discussione di teoremi o esercizi. Vedremo adesso di presentarli e vedere cosa rappresentano nel linguaggio matematico.

Insiemi numerici e i loro simboli.

N I numeri naturali {0,1,2,3,…,+∞}

Z Insieme dei numeri interi { -∞…,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,… ∞}

 

Q Insieme dei numeri razionali {-∞ ……. -2, -1/2 ,  -1, 0, +1, +1/2, +2,……. , -…  ..+2/3, -2/3….. ∞}

R    Insieme dei numeri reali   {0, +1, -1,……. , . +1/2, -1/2 … radice(2), radice(3), π e …..}

C Insieme dei numeri complessi { -∞,…… 0,+1,+i,−1,−i,i +1,2 − 3i,… +∞}

Simboli insiemistici

∈ appartiene
∉ non appartiene
⊆ inclusione (contenuto o uguale)
⊂ inclusione (stretta)
∀ per ogni
∃ esiste
∅ insieme vuoto
∪ unione insiemistica
∩ intersezione insiemistica
\ differenza insiemistica
Δ differenza simmetrica
× prodotto cartesiano

≠ diverso da

Sistemi di numerazione

Le esigenze di stabilire un confronto tra un insieme di oggetti e la necessità di associare a gruppi di oggetti una loro misura, si presentò molto presto nella storia della civiltà umana.

I popoli primitivi usavano criteri basati sul confronto, elemento per elemento, degli insiemi di oggetti da valutare. Avevano sistemi di regole che contemplavano la sostituzione di gruppi di oggetti in numero prestabilito (5 o 10) con un particolare oggetto distinguibile dagli altri inequivocabilmente. In seguito utilizzarono le dieci dita delle mani. Ad ogni gruppo di oggetti veniva fatta corrispondere una precisa configurazione delle dita. La limitazione derivante dal numero delle dita era risolta assegnando valori multipli di dieci a dita prefissate. Introducendo così implicitamente il sistema di numerazione posizionale. Dove la posizione è fondamentale per stabilire l’entità del numero, quindi 1 è diverso da 10 100 o 1000 assegnando valori diversi al numero al seconda del posto in cui si trova la cifra.

Basi

I popoli antichi usavano già sistemi numerici posizionali in base 10, ma non erano gli unici sistemi . Ci sono tracce tra gli antichi popoli, di sistemi di numerazione in base 18 e 20 (Maya). Anche in base 3, 4, 5, 6, 8 (indiani America del Nord). Il sistema decimale ha poi prevalso, tanto che all’uomo di oggi risulta persino difficile pensare a sistemi di numerazione con base diversa da dieci, data la lunga tradizione ricevuta sin dall’infanzia. I motivi che hanno portato alla diffusione del sistema decimale non sono validi per la scelta dei sistemi di numerazione usati nei calcolatori elettronici.

Nei calcolatori

Nei quali, sistemi di numerazione aventi come base 2 o potenze di 2 come il sistema ottale e il sistema esadecimale presentano caratteristiche più vantaggiose. La descrizione di questi sistemi e della loro aritmetica è pertanto utile e da introduzione allo studio dei calcolatori elettronici, allo stesso modo in cui lo studio del sistema decimale è propedeutico allo studio della matematica tradizionale.